일대일 함수의 출발점
함수 단원에서 일대일 함수와 일대일 대응은 이름이 비슷하지만 확인하는 대상이 다릅니다. 일대일 함수는 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가는지 살피고 일대일 대응은 공역까지 모두 채워지는지 확인합니다. 그래서 일대일 대응은 일대일 함수보다 조건이 하나 더 있는 개념입니다. 문제를 볼 때 두 이름을 같은 뜻으로 보지 않는 것이 첫걸음입니다.
함수는 정의역의 각 원소에 하나의 함숫값만 정해지는 관계입니다. 일대일 함수인지 묻는다면 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 모이는 일이 없는지 점검합니다. 예를 들어 1과 2가 각각 3과 5로 간다면 출력이 겹치지 않으므로 일대일 함수가 될 수 있습니다. 반대로 1과 2가 모두 4로 간다면 서로 다른 입력이 하나의 출력으로 합쳐지므로 일대일 함수가 아닙니다.
일대일 함수의 정의는 어떤 출력값 하나를 골랐을 때 그 값으로 가는 입력값이 많아야 하나라는 말로 바꿀 수 있습니다. 많아야 하나에는 그 출력값으로 가는 입력이 없을 수도 있다는 뜻이 들어 있습니다. 이 빈자리가 일대일 함수와 일대일 대응을 가르는 핵심입니다. 공역에 원소가 남아 있어도 출력값의 중복만 없다면 일대일 함수는 가능합니다.
일대일 대응은 정의역과 공역이 빈틈없이 짝지어진 상태입니다. 서로 다른 입력이 다른 출력으로 가야 하므로 일대일 함수 조건을 만족해야 합니다. 동시에 공역의 각 원소가 적어도 한 번은 함숫값으로 등장해야 합니다. 출력 중복이 없고 공역에 남는 원소도 없을 때 비로소 일대일 대응입니다. 즉 일대일 함수와 공역 전체 채우기가 함께 성립해야 합니다.
일대일 대응이 되려면
화살표 그림에서는 도착점 기준으로 두 번 확인하면 됩니다. 먼저 한 도착점에 화살표가 두 개 이상 들어오는지 봅니다. 그런 점이 있으면 일대일 함수가 아닙니다. 다음으로 공역의 도착점 중 화살표가 하나도 들어오지 않는 점이 있는지 봅니다. 중복도 없고 빈자리도 없으면 일대일 대응입니다. 이 순서를 따르면 그림이 복잡해도 판단이 빨라집니다.
그래프에서는 수평선 판별법이 유용합니다. 정의역 안에서 임의의 수평선을 그었을 때 그래프와 두 점 이상 만나는 경우가 있으면 같은 y값에 서로 다른 x값이 대응하므로 일대일 함수가 아닙니다. 모든 수평선이 한 점 이하에서 만나면 일대일 함수입니다. 일대일 대응까지 판단하려면 공역의 범위와 실제 치역이 같은지도 따로 확인해야 합니다.
실수 전체에서 실수 전체로 가는 y는 2x 더하기 1 함수는 일대일 대응입니다. x가 달라지면 기울기가 0이 아니므로 y도 달라지고 원하는 실수 y를 만들 x도 항상 찾을 수 있습니다. 반면 y는 x의 제곱 함수는 실수 전체를 정의역으로 잡으면 일대일 함수가 아닙니다. 2와 마이너스 2가 같은 4로 가기 때문입니다. 정의역을 제한하면 결과가 달라질 수 있습니다.
표로 제시된 문제에서는 입력값과 출력값을 한 줄씩 비교하는 방식이 안정적입니다. 입력이 a b c이고 출력이 1 2 3이라면 서로 다른 출력이므로 일대일 함수입니다. 공역도 1 2 3뿐이라면 남는 원소가 없어 일대일 대응입니다. 공역에 4가 하나 더 있다면 일대일 함수이지만 일대일 대응은 아닙니다. 공역 정보가 생략되지 않았는지 확인해야 합니다.
그래프로 빠르게 판별하기
원소 수를 이용하면 빠른 예측도 가능합니다. 유한집합에서 정의역 원소 수가 공역 원소 수보다 크면 일대일 함수는 만들 수 없습니다. 서로 다른 입력이 모두 다른 출력으로 가려면 도착할 자리가 부족하기 때문입니다. 정의역 원소 수가 공역 원소 수보다 작으면 일대일 대응은 만들 수 없습니다. 두 집합 원소 수가 같아도 실제 대응 관계를 확인해야 합니다.
자주 하는 실수는 일대일 함수와 일대일 대응을 같은 말처럼 쓰는 것입니다. 일대일 함수는 출력의 중복 금지에 집중하고 일대일 대응은 중복 금지와 공역의 남김없음을 함께 요구합니다. 또 치역과 공역을 혼동하면 빈자리 판단이 흔들립니다. 치역은 실제로 나온 출력값의 모임이고 공역은 처음에 약속한 도착 집합입니다. 치역과 공역이 같아야 일대일 대응입니다.
문제를 풀 때는 먼저 함수 자체가 맞는지 확인하고 다음으로 같은 출력으로 들어가는 입력이 둘 이상인지 살핍니다. 중복이 있으면 일대일 함수가 아니라는 결론을 냅니다. 중복이 없다면 공역의 각 원소에 화살표가 도착했는지 확인합니다. 모두 도착했다면 일대일 대응이고 빈 원소가 남았다면 일대일 함수까지만 성립합니다. 이 세 단계는 그림과 표와 식에 공통으로 적용됩니다.
마지막으로 정의역과 공역은 문제 조건에 따라 달라질 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 같은 식도 어느 집합에서 어느 집합으로 보내는지에 따라 일대일 함수 또는 일대일 대응 여부가 바뀝니다. 답을 쓰기 전에는 입력의 범위와 출력이 허용되는 범위와 공역의 원소를 함께 적어 보세요. 서로 다른 입력의 출력이 겹치지 않는 관계가 일대일 함수이고 공역 전체를 빠짐없이 채우는 관계가 일대일 대응입니다.
식과 표에서 확인하는 법
역함수 관점도 두 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다. 함수가 일대일이면 이미 나온 각각의 출력값에 대해 원래 입력값을 하나로 되돌릴 수 있습니다. 그러나 공역에 사용되지 않은 값이 있으면 그 값에서는 역함수가 정의되지 않습니다. 따라서 공역 전체에서 역함수를 만들려면 일대일 대응이어야 합니다. 역함수 문제에서 정의역과 공역을 쓰는 이유도 여기에 있습니다.
일대일 함수가 아닌 사례를 만들 때는 출력 하나를 의도적으로 겹치게 하면 됩니다. 정의역의 서로 다른 두 원소가 같은 공역 원소를 향하도록 화살표를 그리면 조건이 즉시 깨집니다. 반대로 일대일 함수이지만 일대일 대응이 아닌 사례는 공역에 빈 원소 하나를 남기면 됩니다. 이 두 반례를 직접 그려 보면 조건의 차이가 눈에 잘 들어옵니다.
식의 증가와 감소도 일대일성 판단에 활용할 수 있습니다. 한 구간에서 계속 증가하거나 계속 감소하는 함수는 그 구간 안에서 같은 함숫값을 두 번 만들지 않으므로 일대일 함수입니다. 다만 증가나 감소가 바뀌는 함수는 같은 높이를 가질 가능성이 있으므로 정의역을 나누어 살펴야 합니다. 미분을 배우는 과정에서는 도함수의 부호를 통해 이 성질을 확인하기도 합니다.
공역을 바꾸면 같은 대응도 분류가 달라질 수 있습니다. 예를 들어 입력 세 개가 출력 1과 2와 3으로 간다고 해도 공역을 1과 2와 3으로 정하면 일대일 대응이 될 수 있습니다. 공역을 1과 2와 3과 4로 정하면 4가 비어 있으므로 일대일 함수에 그칩니다. 함수식만 보지 말고 화살표가 도착하는 전체 집합을 함께 읽어야 하는 이유입니다.
자주 헷갈리는 사례
객관식 문제에서는 보기마다 중복과 빈자리를 표시하면 실수가 줄어듭니다. 도착점에 들어오는 화살표 수를 작은 숫자로 적고 2 이상인 점이 있는지 먼저 찾습니다. 다음에는 0이 적힌 공역 원소가 있는지 봅니다. 2 이상이 있으면 일대일 함수가 아니고 0만 있으면 일대일 함수이지만 일대일 대응은 아닙니다. 둘 다 없을 때만 정답 후보가 됩니다.
서술형 답안은 조건을 빠뜨리지 않게 두 문장으로 쓰면 좋습니다. 먼저 서로 다른 정의역의 원소가 서로 다른 공역의 원소에 대응하므로 일대일 함수라고 씁니다. 이어 공역의 모든 원소가 치역에 포함되므로 일대일 대응이라고 덧붙입니다. 반대 결론을 쓸 때도 같은 방식으로 중복된 출력 또는 남는 공역 원소를 근거로 제시하면 설명이 분명해집니다.
개념을 마무리할 때는 일대일 함수와 일대일 대응의 포함 관계를 기억하세요. 모든 일대일 대응은 일대일 함수이지만 모든 일대일 함수가 일대일 대응인 것은 아닙니다. 공역의 빈자리가 있으면 포함 관계의 역방향이 성립하지 않습니다. 정의역과 공역과 치역을 표시하고 중복과 빈자리를 차례로 확인하는 습관이 가장 안전한 풀이법입니다.
연습 전에는 문제의 정의역과 공역을 네모로 표시하고 치역을 따로 적어 두면 좋습니다. 같은 출력으로 가는 입력이 있는지와 공역에 남는 원소가 있는지를 색으로 구분하면 판단 근거가 선명해집니다. 특히 식으로 제시된 함수는 공역이 명시됐는지 확인한 뒤 수평선 판별과 치역 계산을 함께 적용해야 합니다. 이 기록 습관은 조건을 놓쳐 생기는 오답을 줄여 줍니다.
문제 풀이 체크리스트
판별 결과를 한 문장으로 정리하는 연습도 효과적입니다. 출력 중복이 없으므로 일대일 함수인지 먼저 쓰고 공역의 모든 원소가 치역에 포함되는지 이어서 적습니다. 두 조건 중 하나라도 빠지면 일대일 대응이라는 결론을 낼 수 없습니다. 그림과 표와 그래프를 같은 순서로 읽으면 낯선 문제에서도 풀이 흐름을 유지할 수 있습니다.
