로그함수는 왜 x가 0보다 커야 할까
로그함수는 y=logₐx처럼 진수 x가 들어가는 함수입니다. 여기서 가장 먼저 붙잡아야 할 조건은 x>0입니다. 로그는 어떤 양수 a를 몇 제곱해야 x가 되는지를 나타내는 말인데, 실수 범위에서 양수의 거듭제곱 결과는 0이나 음수가 될 수 없기 때문입니다. 그래서 그래프를 그릴 때 y축의 왼쪽과 y축 위에는 점이 하나도 생기지 않습니다. x=0은 그래프가 닿지 못하는 경계이며, x가 0에 아주 가까워질수록 함수값은 크게 내려가거나 올라가는 모습을 보입니다. 이 경계가 수직점근선 x=0입니다. 문제를 풀다가 로그 안에 식이 들어가면 그 식 전체가 0보다 커야 한다는 뜻으로 바꾸어야 합니다. 예를 들어 logₐ(2x-3)는 2x-3>0, 즉 x>3/2에서만 정의됩니다. 계산을 시작하기 전에 정의역부터 표시하는 습관이 중요한 이유입니다.
밑 a의 조건도 빠뜨리면 안 됩니다. a>0이고 a≠1이어야 로그함수가 하나의 함수로 정해집니다. a가 1보다 크면 x가 커질수록 y도 커지는 증가함수이고, 0<a<1이면 x가 커질수록 y는 작아지는 감소함수입니다. 두 경우 모두 (1,0)을 지나는데, logₐ1=0이기 때문입니다. 밑이 10이든 2이든 1보다 큰 경우에는 오른쪽으로 갈수록 완만하게 올라가고, 밑이 1보다 작은 경우에는 같은 모양이 위아래로 뒤집힌 듯 내려갑니다. 따라서 그래프의 증가·감소를 묻는 질문은 복잡한 미분보다 먼저 밑의 범위를 확인하면 빠르게 판단할 수 있습니다. 특히 최대·최소 문제에서는 이 방향 판정이 끝점 비교의 기준이 됩니다.
y=logₐx를 옮기는 순서와 해석
기준 그래프 y=logₐx에서 y=logₐ(x-h)+k로 바뀌면 두 가지 이동이 한 식에 들어 있습니다. 먼저 x-h는 그래프를 오른쪽으로 h만큼 이동시킵니다. 식 안의 부호를 보고 왼쪽이라고 착각하기 쉬운데, 원래 그래프에서 같은 함수값을 만들려면 x가 h만큼 더 커져야 하므로 실제 그림은 오른쪽으로 갑니다. 반대로 x+h라면 왼쪽으로 h만큼 이동합니다. 다음으로 식 바깥의 +k는 그래프 전체를 위로 k만큼 올립니다. -k라면 아래로 k만큼 내립니다. 가로 이동을 판단할 때는 괄호 속 부호를 반대로, 세로 이동은 바깥 부호를 그대로 읽는다고 정리하면 실수를 줄일 수 있습니다.
이동 뒤에도 로그함수의 성질은 사라지지 않습니다. y=logₐ(x-h)+k의 정의역은 x-h>0이므로 x>h이고, 수직점근선도 x=h로 함께 옮겨집니다. 원래 그래프의 기준점 (1,0)은 (h+1,k)로 이동합니다. 이 점은 스케치가 맞는지 확인하는 빠른 표식입니다. 예를 들어 y=log₂(x-3)+2라면 점근선은 x=3, 기준점은 (4,2)입니다. 밑이 2이므로 그래프는 오른쪽으로 갈수록 증가해야 합니다. 점근선의 오른쪽에서 시작해 (4,2)를 지난 뒤 올라가는 곡선을 그리면 됩니다. 복잡한 식도 ‘정의역→점근선→기준점→증가·감소’ 순서로 쪼개면 한 번에 정리됩니다.
상수배까지 붙은 y=c·logₐ(x-h)+k도 같은 틀에서 볼 수 있습니다. c가 양수면 증가·감소 방향은 밑이 결정한 방향을 유지하지만, c가 음수면 x축 대칭이 일어나 방향이 바뀝니다. |c|가 1보다 크면 세로로 늘어나고 0<|c|<1이면 납작해집니다. 다만 정의역과 수직점근선은 c와 무관하게 x>h, x=h로 남습니다. 시험에서 그래프의 위치를 묻는 문제라면 수치 몇 개를 무작정 대입하기보다 이 변하지 않는 뼈대를 먼저 적어 두는 편이 안전합니다. 그래야 로그 안의 식이 일차식인지, 부호가 바뀌었는지에 따라 경계와 방향을 놓치지 않습니다.
최대·최소는 구간과 끝점을 먼저 비교한다
로그함수 자체는 정의역 전체에서 항상 최대값이나 최소값을 갖는다고 말할 수 없습니다. 밑이 1보다 큰 y=logₐx는 x가 커질수록 계속 커지고, x가 0에 가까워질수록 끝없이 작아집니다. 반대로 0<a<1이면 x가 0에 가까워질수록 커지고 x가 커질수록 작아집니다. 하지만 문제에서 닫힌구간 [p,q]가 주어지고 그 구간이 정의역 안에 있다면 상황이 달라집니다. 연속인 함수이므로 최대값과 최소값이 존재하며, 로그함수의 단조성을 이용해 어느 끝점이 큰지 빠르게 고를 수 있습니다. a>1이면 p<q일 때 f(p)가 최소, f(q)가 최대이고, 0<a<1이면 그 반대입니다. 이동한 함수도 정의역을 통과하는 구간인지 확인한 뒤 같은 원칙을 적용합니다.
가장 조심할 부분은 구간이 점근선이나 정의역 경계에 걸치는 경우입니다. 예를 들어 f(x)=log₂(x-3)+1에서 [2,5] 전체를 대상으로 최대·최소를 묻는다면 x≤3에서는 함수가 정의되지 않으므로 그대로 비교할 수 없습니다. 실제 정의된 부분은 (3,5]이고 3은 포함되지 않습니다. 이 함수는 증가하므로 x=5에서 최대값은 얻지만, x가 3에 가까워질수록 값이 끝없이 작아져 최소값은 없습니다. 열린구간도 마찬가지입니다. 값이 어떤 수에 한없이 가까워져도 그 점을 실제로 포함하지 않으면 ‘최솟값’이라고 쓰면 안 됩니다. 그래프의 화살표와 빈 점을 함께 확인하는 이유가 여기에 있습니다.
표를 이용해 판단할 때도 정의역 검사가 첫 줄에 와야 합니다. 함수 f(x)=log₃(2x-1)-4를 예로 들면 진수 조건 2x-1>0에서 x>1/2를 얻습니다. 따라서 x=0, 1/2, 1/3 같은 값은 함수값 표에 넣을 수 없습니다. 그다음 밑 3이 1보다 크므로 이 함수는 정의역에서 증가한다고 적습니다. 구간 [1,4]가 주어졌다면 두 끝점은 모두 정의역에 들어가므로 f(1)과 f(4)를 계산해 비교하면 됩니다. 실제로 증가함수라는 결론을 이미 알고 있으므로 f(1)이 최솟값, f(4)가 최댓값이 됩니다. 계산은 정답을 확인하는 역할이고, 판단의 뼈대는 정의역과 단조성입니다. 이렇게 접근하면 로그의 밑변환이나 소수 밑 때문에 계산이 번거로운 문제에서도 실수 없이 풀이 방향을 잡을 수 있습니다.
그래프를 읽는 문제에서는 ‘값의 범위’와 ‘최대·최소의 존재’를 구분해야 합니다. 예를 들어 y=log₂x의 치역은 모든 실수입니다. 함수값이 아주 큰 수도 아주 작은 수도 될 수 있다는 뜻이지, 실제로 가장 큰 값과 가장 작은 값이 있다는 뜻은 아닙니다. 반면 y=log₂x를 [1,8]에서만 보면 치역은 [0,3]이고, 0과 3은 끝점에서 실제로 얻으므로 최소값과 최대값이 됩니다. 정의역을 (1,8)처럼 열어 두면 같은 값의 범위에 가까이 갈 수 있어도 끝점은 포함되지 않아 두 값 모두 얻지 못합니다. 문제의 괄호와 대괄호 하나가 결론을 바꿀 수 있으므로, 구간을 수직선에 직접 표시하고 포함 여부를 체크하는 편이 좋습니다.
마지막으로 부등식과 연결해 보면 그래프 해석이 더 단단해집니다. 밑이 1보다 큰 경우 logₐu>logₐv는 u>v와 같은 방향으로 바뀌지만, 0<a<1이면 부등호 방향이 반대가 됩니다. 이 사실은 최대·최소를 판단할 때도 동일하게 작동합니다. 예를 들어 0<a<1인 logₐ(x-2)는 정의역 x>2에서 감소하므로, 더 큰 x를 넣을수록 작은 함수값이 나옵니다. 식을 계산하기 전 그래프의 진행 방향을 화살표로 표시해 두면 부등호를 뒤집어야 하는 순간과 큰 값을 주는 끝점을 한눈에 확인할 수 있습니다. 로그의 진수끼리 비교할 때는 두 진수가 모두 양수인지도 함께 확인해야 합니다. 정의역 검사는 풀이의 첫 단계이면서 마지막 검산 기준이기도 합니다.
정리하면 로그함수의 최대·최소는 세 문장으로 판단할 수 있습니다. 첫째, 로그 안의 식이 양수인 범위인지 확인합니다. 둘째, 밑과 상수배의 부호를 보고 증가·감소 방향을 정합니다. 셋째, 구간의 끝점이 실제 정의역에 포함되는지 살핀 뒤 함수값을 비교합니다. 이 순서를 지키면 식이 y=-2log₁⁄₂(x+1)+3처럼 복잡해 보여도 흔들리지 않습니다. 안쪽 x+1 때문에 정의역은 x>-1, 점근선은 x=-1입니다. 밑이 1보다 작아 감소하지만 앞의 -2가 방향을 한 번 더 뒤집으므로 전체는 증가합니다. 이제 주어진 구간이 -1보다 오른쪽에 있는지만 확인하고, 증가함수의 끝점 규칙을 적용하면 됩니다.
